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<!DOCTYPE html>

<title>Young-Tableau</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Young-Tableau</h1>

</header>

</div>

Ein Young-Tableau oder Young-Diagramm (auch Ferrers Diagram wenn Punkte verwendet werden), benannt nach <a href="Alfred_Young" title="Alfred Young">Alfred Young</a>, ist ein grafisches Objekt, das in der <a href="Darstellungstheorie_endlicher_Gruppen" title="Darstellungstheorie endlicher Gruppen">Darstellungstheorie</a> der <a href="Symmetrische_Gruppe" title="Symmetrische Gruppe">symmetrischen Gruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.643ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}}" loading="lazy"> verwendet wird. Ein Young-Tableau ist eine Sammlung einer endlichen Anzahl von Zellen (meist symbolisiert durch Quadrate), die von oben nach unten und linksbündig so angeordnet sind, dass deren Anzahl in jeder neuen Zeile nicht zunimmt.

Beispiele für Young-Tableaux:

<pre>a) [ ][ ][ ][ ] b) [ ] c) [ ] d) [ ][ ][ ][ ]

[ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

</pre>

Folgende grafische Objekte sind keine Young-Tableaux:

<pre> [ ][ ][ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ][ ]

[ ]

</pre>

Die Partition eines Young-Tableau ist die Aufzählung der Zahl der Zellen jeder Zeile und dient der kompakten Beschreibung seiner Struktur. In den gezeigten Beispielen ergeben sich folgenden Partitionen: a) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (4,2,2,1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (4,2,2,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/deafcdc3b2b98f0ae7d8e0a7335787f82856f5f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.561ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (4,2,2,1)}" loading="lazy"> b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a25115739469707c4758b189fe310a750092a80a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1)}" loading="lazy"> c) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,1,1,1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,1,1,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a9c3465299aad7c315eaad66d83e90e9d7ba5b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.561ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,1,1,1)}" loading="lazy"> und d) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (4)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (4)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acef5ddcf7badc13caf068a811d4fd5812eca8c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (4)}" loading="lazy">, wobei die Klammer in diesem Beispiel nicht die weiter unten verwendete <a href="Permutation#Zyklenschreibweise" title="Permutation">Zyklusschreibweise</a> meint. Die Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> des Tableaux bezeichnet die Zahl aller Zellen. Die Anzahl gültiger Tableaux mit der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> kann durch die <a href="Partitionsfunktion" title="Partitionsfunktion">Partitionsfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e303d2c14cd399b6f52b468c9fd44a542bed422.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.949ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(n)}" loading="lazy"> angegeben werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

Die wichtigsten Zusammenhänge zwischen den irreduziblen Darstellungen der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.643ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}}" loading="lazy"> und den Young-Tableaux der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> seien hier skizziert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Young-Schema_und_die_Projektoren_der_irreduziblen_Darstellungen">Young-Schema und die Projektoren der irreduziblen Darstellungen</h3></div>

Ein Young-Schema ist ein Young-Tableau, dessen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Zellen mit den Zahlen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> bis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> zunächst willkürlich besetzt sind. Beispiele für Young-Schemata:

<pre>a) [3][7][6][5] b) [1] c) [1] d) [3][4][2][1]

[9][2] [2]

[1][8] [3]

[4] [4]

</pre>

Nun werden Operatoren aus diesen Schemata gebildet. Dabei bilden die Zeilen im Schema die Grundlage zur Bildung eines Operators <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy">. Pro Zeile werden aus allen Kombinationen der Zellenindizes Permutationen gebildet und summiert. Die so entstehenden Summen von Permutationen werden multipliziert. Ganz analog bilden die Spalten im Schema die Grundlage zur Bildung eines Operators <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy">. Pro Spalte werden aus allen Kombinationen der Spaltenindizes Permutationen gebildet und summiert. Bei der Summation wird aber ein negatives Vorzeichen verwendet, wenn die Permutation <a href="Vorzeichen_(Permutation)" title="Vorzeichen (Permutation)">ungerade</a> ist. Die so entstehenden Summen von Permutationen werden multipliziert.

Beispiel:

<pre> [3][1][6]

[5][4]

[2]

</pre>

Hier gilt (in der <a href="Permutation#Zyklenschreibweise" title="Permutation">Zyklennotation</a>)

und

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Standardschema">Standardschema</h3></div>

Ein Standardschema ist ein Young-Schema, bei dem die Nummerierung der Zellen derart durchgeführt wird, dass in jeder Spalte von oben nach unten und in jeder Zeile von links nach rechts die Zahlen größer werden.

Beispiele für Standardschemata:

<pre> [1][3][6] [1][3][5] [1][2] [1]

[2][4] [2][6] [3] [2]

[5] [4] [3]

</pre>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wichtige_Sätze">Wichtige Sätze</h3></div>

Für die Schemata lässt sich Folgendes zeigen

<ul><li>Der Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R=PQ}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R=PQ}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b5d4b8136592a2d76f20c3e4bf468ab49c13f9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.446ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R=PQ}" loading="lazy"> ist ein skalares Vielfaches eines Projektors. Das heißt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle RR=kR}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle RR=kR}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8cf10eb8f83ea732d61a927f756bd6f68f99e94.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.602ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle RR=kR}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> eine von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> verschiedene Konstante ist, die gleichzeitig die Normierung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> vorgibt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R/k}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R/k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04547d4b398e3527008d056cffc95c5615ece20f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.138ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R/k}" loading="lazy"> ist normierter Projektor). Im Folgenden sollen immer die normierten Projektoren gemeint sein.</li>

<li>Die Projektoren zu den Schemata unterschiedlicher Tableaux sind orthogonal: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{i}R_{j}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{i}R_{j}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8849e46a3f7065723c78b38df3345647f943ac0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.498ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R_{i}R_{j}=0}" loading="lazy">.</li>

<li>Die Projektoren zu allen Schemata gleicher Tableaux sind nicht linear unabhängig - jedoch solche zu allen möglichen Standardschemata eines gegebenen Tableau. Aus diesen lässt sich dann ein System orthogonaler Projektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{ik}R_{im}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{ik}R_{im}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d69c094e53cf27cf892e982f2e64ab3f4c5e0cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.688ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{ik}R_{im}=0}" loading="lazy"> konstruieren.</li>

<li>Das System aller Projektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{ik}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{ik}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/807622f848b7ff6c4975a72ca84d38bc0bcd0d5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.42ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{ik}}" loading="lazy"> zu allen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> Tableaux mit allen möglichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> Standardschemata ist vollständig, das heißt: Die Summe aller (normierter)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{ik}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{ik}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/807622f848b7ff6c4975a72ca84d38bc0bcd0d5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.42ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{ik}}" loading="lazy"> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy">.</li>

<li>Die Zahl der orthogonalen Projektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{ik}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{ik}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/807622f848b7ff6c4975a72ca84d38bc0bcd0d5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.42ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{ik}}" loading="lazy"> (zu Standardschemata), die sich so aus Tableaux der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> konstruieren lassen, und die Summe der Dimensionen der irreduziblen Darstellungen der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.643ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}}" loading="lazy"> ist gleich.</li></ul>

Damit sind die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{ik}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{ik}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/807622f848b7ff6c4975a72ca84d38bc0bcd0d5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.42ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{ik}}" loading="lazy"> die Projektoren der irreduziblen Darstellungen der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.643ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Hakenlängenformel">Hakenlängenformel</h2></div>

Die von J. Sutherland Frame, <a href="Gilbert_de_Beauregard_Robinson" title="Gilbert de Beauregard Robinson">Gilbert de Beauregard Robinson</a> und <a href="Robert_M._Thrall" title="Robert M. Thrall">Robert M. Thrall</a> 1954 hergeleitete Hakenlängenformel<a href="#cite_note-1">[1]</a> gibt die Anzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{\lambda }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{\lambda }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afc10ec0edcf040c6566a694ebe042a5f0838c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.511ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{\lambda }}" loading="lazy"> der Young-Diagramme des Typs <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> an (mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> Reihen der Längen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72fde940918edf84caf3d406cc7d31949166820f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.155ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{i}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1\cdots k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1\cdots k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3500838ca99c969e2d01d9191ca2facb1a0c9695.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.772ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i=1\cdots k}" loading="lazy">). Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (i,j)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (i,j)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ef21910f980c6fca2b15bee102a7a0d861ed712.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.604ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (i,j)}" loading="lazy"> die Zelle der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">-ten Reihe und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}" loading="lazy">-ten Spalte im Young-Diagramm. Dieser wird ein sogenannter Haken <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{\lambda }(i,j)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{\lambda }(i,j)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9654d0c5db5e7b1bdf01efd13c2176989f795124.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.726ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H_{\lambda }(i,j)}" loading="lazy"> zugeordnet, der gleich der Menge der Zellen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7e5710198f33b00695903460983021e75860e2c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.071ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)}" loading="lazy"> ist mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\geq i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\geq i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/09da1777a86b7ddd12f3f48219f538d3efbb63c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.131ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a\geq i}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=j}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02a2d285054ffd06e8c39593eab85ad921bb533d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.054ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b=j}" loading="lazy"> oder mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46ea62fd8d9c7f055ae3c2307163abb7d3004316.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.131ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=i}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\geq j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\geq j}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d59e1a31ac86ad9958d3873cbebf4ecca6916466.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.054ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b\geq j}" loading="lazy">. Die Hakenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{\lambda }(i,j)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{\lambda }(i,j)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf9cfab5bcc8f37c3d66f2a35d4e7dba63d2c1b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.133ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{\lambda }(i,j)}" loading="lazy"> ist die Anzahl der Zellen in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{\lambda }(i,j)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{\lambda }(i,j)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9654d0c5db5e7b1bdf01efd13c2176989f795124.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.726ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H_{\lambda }(i,j)}" loading="lazy">. Dann ist die Hakenlängenformel:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{\lambda }={\frac {n!}{\prod h_{\lambda }(i,j)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/942ecead028192612cd191e2d29571e60cfb4460.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:16.16ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f^{\lambda }={\frac {n!}{\prod h_{\lambda }(i,j)}}}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei das Produkt im Nenner über alle Zellen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (i,j)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (i,j)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ef21910f980c6fca2b15bee102a7a0d861ed712.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.604ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (i,j)}" loading="lazy"> geht.

Da ein Young-Diagramm einer irreduziblen Darstellung der symmetrischen Gruppe entspricht gibt die Hakenformel die jeweilige Dimension der irreduziblen Darstellungen an, die durch das Young-Diagramm repräsentiert werden. Deshalb hat die Formel auch viele Anwendungen in der Physik.

Ältere kompliziertere Formeln von <a href="Ferdinand_Georg_Frobenius" title="Ferdinand Georg Frobenius">Ferdinand Georg Frobenius</a> (1900) und <a href="Alfred_Young" title="Alfred Young">Alfred Young</a> (1902) verwendeten Determinanten und ein Beweis von <a href="Percy_Alexander_MacMahon" title="Percy Alexander MacMahon">Percy Alexander MacMahon</a> von 1916 Differenzenmethoden.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Der Beweis von Frame, de Robinson und Thrall wurde vielfach als noch zu komplex empfunden und einfachere Beweise entwickelt (unter anderem <a href="Albert_Nijenhuis" title="Albert Nijenhuis">Albert Nijenhuis</a> und <a href="Herbert_Wilf" title="Herbert Wilf">Herbert Wilf</a><a href="#cite_note-3">[3]</a>, <a href="Doron_Zeilberger" title="Doron Zeilberger">Doron Zeilberger</a> und D. S. Franzblau 1982,<a href="#cite_note-4">[4]</a> es gibt auch ein heuristisches Argument von <a href="Donald_Knuth" class="mw-redirect" title="Donald Knuth">Donald Knuth</a>).<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Das_äußere_Tensorprodukt_von_Darstellungen_symmetrischer_Gruppen:_Littlewood-Richardson-Koeffizienten">Das äußere Tensorprodukt von Darstellungen symmetrischer Gruppen: Littlewood-Richardson-Koeffizienten</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Das_äußere_Tensorprodukt">Das äußere Tensorprodukt</h3></div>

Zwei Darstellungen von zwei (im Allgemeinen verschiedenen) symmetrischen Gruppen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.643ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6749c5ba85b0fce4b16adf795e6f53d197b7991.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.1ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{m}}" loading="lazy"> kann man zu einer Darstellung der symmetrischen Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n+m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n+m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89bacf72b6f1e1275b461393bec3d08f8569ef3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.365ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n+m}}" loading="lazy"> "verknüpfen", dem sogenannten äußeren Tensorprodukt dieser beiden Darstellungen. Die genaue Definition dieser Darstellung verläuft folgendermaßen:

Für je zwei Permutationen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma \in S_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma \in S_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2909dd9d8d53e51c7b767dbc347b6507e4a9f578.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.814ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma \in S_{n}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \in S_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \in S_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f884a80bcbc43e15c14d92ede120aee3a06e01d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.273ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \pi \in S_{m}}" loading="lazy"> definieren wir das "äußere Produkt" <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma \times \pi \in S_{n+m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma \times \pi \in S_{n+m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b21d51b4a589feaf9bc18b5303134c5eb42b63d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.707ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma \times \pi \in S_{n+m}}" loading="lazy"> als die Permutation der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{1,2,...,n+m\right\}}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{1,2,...,n+m\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66c2b46938b2156f64a1be07b35f5e4c7ba1581e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.129ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left\{1,2,...,n+m\right\}}" loading="lazy">, welche jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\in \left\{1,2,...,n\right\}}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\in \left\{1,2,...,n\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3499331c324e83fc3a3c551acf997e8409f14e1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.891ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i\in \left\{1,2,...,n\right\}}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma \left(i\right)}">

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma \left(i\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27740d3618c82b21e7935d45299cb19c3df031dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.329ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma \left(i\right)}" loading="lazy"> abbildet und jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j\in \left\{n+1,n+2,...,n+m\right\}}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j\in \left\{n+1,n+2,...,n+m\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc31207372db7159541263490c3060d54089ec44.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.027ex; width:29.425ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle j\in \left\{n+1,n+2,...,n+m\right\}}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \left(j-n\right)+n}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \left(j-n\right)+n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79a288142bb6784058b408ae89c6bd508d96a012.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.957ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi \left(j-n\right)+n}" loading="lazy"> abbildet. Anschaulich gesprochen ist also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma \times \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma \times \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe690de0831a760f2f235001eff4d4f4febfb16f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.502ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma \times \pi }" loading="lazy"> die Permutation, die auf den ersten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Zahlen wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> wirkt und auf den letzten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> Zahlen wie (eine um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> verschobene Permutation) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy"> wirkt.

Wir können die Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}\times S_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}\times S_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6ea0db0c2851e3b15e40318ad92637368371105.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.584ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}\times S_{m}}" loading="lazy"> als Untergruppe von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n+m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n+m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89bacf72b6f1e1275b461393bec3d08f8569ef3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.365ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n+m}}" loading="lazy"> ansehen (vermöge der Einbettung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}\times S_{m}\to S_{n+m},\ \left(\sigma ,\pi \right)\mapsto \sigma \times \pi }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}\times S_{m}\to S_{n+m},\ \left(\sigma ,\pi \right)\mapsto \sigma \times \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab8216ad44e2141aa2b415904bbd9d4131e77cde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.185ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S_{n}\times S_{m}\to S_{n+m},\ \left(\sigma ,\pi \right)\mapsto \sigma \times \pi }" loading="lazy">).

Für jede Darstellung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.643ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}}" loading="lazy"> und jede Darstellung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6749c5ba85b0fce4b16adf795e6f53d197b7991.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.1ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{m}}" loading="lazy"> definieren wir nun das äußere Tensorprodukt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> als die Darstellung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Ind} _{S_{n}\times S_{m}}^{S_{n+m}}\left(V\otimes W\right)}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Ind} _{S_{n}\times S_{m}}^{S_{n+m}}\left(V\otimes W\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d5c356e39eb1602bc76fa7ef361ea8a2780f937.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:18.51ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Ind} _{S_{n}\times S_{m}}^{S_{n+m}}\left(V\otimes W\right)}" loading="lazy"> (hierbei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\otimes W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\otimes W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0d8e48e05a95d9c68f80f49e3d509ba9de064c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.063ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V\otimes W}" loading="lazy"> auf kanonische Weise eine Darstellung der Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}\times S_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}\times S_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6ea0db0c2851e3b15e40318ad92637368371105.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.584ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}\times S_{m}}" loading="lazy">: die Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.643ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}}" loading="lazy"> wirkt auf dem ersten Tensoranden, während die Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6749c5ba85b0fce4b16adf795e6f53d197b7991.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.1ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{m}}" loading="lazy"> auf dem zweiten Tensoranden wirkt).

Das äußere Produkt der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.643ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}}" loading="lazy"> verknüpft Permutationen der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de6e810a93f67802ecb603ee0e3324005c6e583e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.225ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{i}}" loading="lazy">, die auf die Indizes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> bis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> wirken, mit Permutationen der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/222db49df2eefdb67737ba2d2dbd221a1bae0bf0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.335ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S_{j}}" loading="lazy">, die auf Indizes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fe1bfc8314922e4c3fdb4e8eceb20a00b4f011d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.805ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle i+1}" loading="lazy"> bis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i+j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i+j}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea2c2b111f44787702a0e16807f7d66b541d1c59.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.601ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i+j}" loading="lazy"> wirken und zusammen Permutationen der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{i+j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{i+j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8d687bf4aa60a5cef4aff3380b27acf38281b41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.181ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S_{i+j}}" loading="lazy"> beschreiben. Dabei stellt sich die Frage, in welche irreduziblen Darstellungen der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{i+j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{i+j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8d687bf4aa60a5cef4aff3380b27acf38281b41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.181ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S_{i+j}}" loading="lazy"> das äußere Produkt einer irreduziblen Darstellung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de6e810a93f67802ecb603ee0e3324005c6e583e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.225ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{i}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/222db49df2eefdb67737ba2d2dbd221a1bae0bf0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.335ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S_{j}}" loading="lazy"> zerfällt. Im Folgenden wird das äußere Produkt mit dem Symbol <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \otimes }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \otimes }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de29098f5a34ee296a505681a0d5e875070f2aea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \otimes }" loading="lazy"> dargestellt.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beispiel">Beispiel</h4></div>

Als Beispiel wählen wir <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=m=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=m=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b1ef040a49efa6d8e3fd4a6ecc693aeb9590654.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.794ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=m=2}" loading="lazy">. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> die triviale Darstellung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1143e284d5f25cef778ab482edf6617a523ddd9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{2}}" loading="lazy"> (also der eindimensionale Vektorraum, auf dem jedes Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1143e284d5f25cef778ab482edf6617a523ddd9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{2}}" loading="lazy"> als Identität wirkt) und sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> die alternierende Darstellung (auch <a href="Vorzeichen_(Permutation)" title="Vorzeichen (Permutation)">Signum</a>-Darstellung oder Signatur-Darstellung genannt) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1143e284d5f25cef778ab482edf6617a523ddd9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{2}}" loading="lazy"> (also der eindimensionale Vektorraum, auf dem jede gerade Permutation als Identität und jede ungerade Permutation als Punktspiegelung am Ursprung wirkt). Dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\otimes W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\otimes W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0d8e48e05a95d9c68f80f49e3d509ba9de064c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.063ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V\otimes W}" loading="lazy"> eine eindimensionale Darstellung der Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{2}\times S_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{2}\times S_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa6700e0d35043750e9191cff3952c330a8945e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.799ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{2}\times S_{2}}" loading="lazy">, und das äußere Produkt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> ist eine sechsdimensionale Darstellung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Ind} _{S_{2}\times S_{2}}^{S_{4}}\left(V\otimes W\right)}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Ind} _{S_{2}\times S_{2}}^{S_{4}}\left(V\otimes W\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/677c96c0607d83dfc70875f38700f296293665fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:17.873ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Ind} _{S_{2}\times S_{2}}^{S_{4}}\left(V\otimes W\right)}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{4}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc1632bc1d95d33ccb5473b9d8cc333c2dd0d13a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{4}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Die_Frage_nach_der_Zerlegung">Die Frage nach der Zerlegung</h3></div>

Nun stellt sich die Frage, wie das äußere Tensorprodukt zweier irreduzibler Darstellungen in irreduzible Darstellungen zerlegt werden kann (dieses Tensorprodukt ist selber nur selten irreduzibel, aber nach dem <a href="Satz_von_Maschke" title="Satz von Maschke">Satz von Maschke</a> zerfällt es in eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen). Da die irreduziblen Darstellungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd1325d812cf88e5341ac097d8bda175723da887.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.514ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{k}}" loading="lazy"> (bis auf Isomorphie) eindeutig den Young-Tableaux der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> entsprechen, können wir also folgende Frage stellen:

Seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> zwei Young-Tableaux der Ordnungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">. Seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> die irreduziblen Darstellungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.643ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6749c5ba85b0fce4b16adf795e6f53d197b7991.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.1ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{m}}" loading="lazy">, die zu diesen Young-Tableaux gehören. Das äußere Produkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Ind} _{S_{n}\times S_{m}}^{S_{n+m}}\left(V\otimes W\right)}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Ind} _{S_{n}\times S_{m}}^{S_{n+m}}\left(V\otimes W\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d5c356e39eb1602bc76fa7ef361ea8a2780f937.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:18.51ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Ind} _{S_{n}\times S_{m}}^{S_{n+m}}\left(V\otimes W\right)}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> ist dann eine Darstellung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n+m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n+m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89bacf72b6f1e1275b461393bec3d08f8569ef3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.365ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n+m}}" loading="lazy">, und somit eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n+m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n+m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89bacf72b6f1e1275b461393bec3d08f8569ef3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.365ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n+m}}" loading="lazy">. Diese irreduziblen Darstellungen entsprechen wiederum Young-Tableaux der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n+m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n+m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a25c9e9196bf3fdc8961a3ee7ef27d0d428d80c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.276ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n+m}" loading="lazy">. Welche Young-Tableaux sind diese? Wir schreiben kurz

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\otimes S=P_{1}+P_{2}+...+P_{l}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/023c2f1cdd4888712738e2e5afd8492879f9255a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.941ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T\otimes S=P_{1}+P_{2}+...+P_{l}}" loading="lazy">

um zu sagen, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1},\ P_{2},\ ...,\ P_{l}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1},\ P_{2},\ ...,\ P_{l}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21f21c82d9fd0c35a63d3505cb8fc89587f12a30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.253ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1},\ P_{2},\ ...,\ P_{l}}" loading="lazy"> die Young-Tableaux zu den irreduziblen Darstellungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n+m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n+m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89bacf72b6f1e1275b461393bec3d08f8569ef3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.365ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n+m}}" loading="lazy"> sind, in welche das äußere Produkt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> zerfällt. Dabei kann unter den Young-Tableaux <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1},\ P_{2},\ ...,\ P_{l}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1},\ P_{2},\ ...,\ P_{l}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21f21c82d9fd0c35a63d3505cb8fc89587f12a30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.253ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1},\ P_{2},\ ...,\ P_{l}}" loading="lazy"> auch ein und das gleiche Tableau mehrfach vorkommen - nämlich dann, wenn in der Zerlegung des äußeren Produktes von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> eine irreduzible Darstellung mehrfach vorkommt. Manchmal fasst man in diesem Fall diese gleichen Tableaux zusammen (statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}+P_{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}+P_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2933f2853070d3a4f78a2d3fb4d2371f42b0b6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.933ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}+P_{3}}" loading="lazy"> schreibt man also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2P_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2P_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f51d0db9308c2fab6fb29e16c66eada5e8bf88ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.709ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2P_{2}}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}=P_{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}=P_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd345682e401bf58d01826aba7b4e553820820f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.191ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}=P_{3}}" loading="lazy"> ist). Dadurch wird aus der Summe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}+P_{2}+...+P_{l}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}+P_{2}+...+P_{l}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6bce4cca351760dd919d800495c73cafd5461da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.866ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}+P_{2}+...+P_{l}}" loading="lazy"> eine Summe paarweise verschiedener Young-Tableaux mit Koeffizienten - diese Koeffizienten nennt man Littlewood-Richardson-Koeffizienten.

Die Frage ist nun, wie man anhand von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> die Young-Tableaux <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1},\ P_{2},\ ...,\ P_{l}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1},\ P_{2},\ ...,\ P_{l}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21f21c82d9fd0c35a63d3505cb8fc89587f12a30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.253ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1},\ P_{2},\ ...,\ P_{l}}" loading="lazy"> bestimmt. Es gibt unterschiedliche Antworten auf diese Frage; sie werden allgemein als Littlewood-Richardson-Regeln (nach <a href="Dudley_Littlewood" title="Dudley Littlewood">Dudley Littlewood</a> und A. R. Richardson) bezeichnet. Wir geben im Folgenden eine solche Regel, die rekursiv ist (es gibt auch explizite Regeln, die allerdings eine langwierige kombinatorische Formulierung haben).

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beispiel_2">Beispiel</h4></div>

Zuerst ein Beispiel: Seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> die Young-Tableaux

<pre> T = [ ][ ] und S = [ ]

[ ] .

</pre>

Die zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> gehörenden irreduziblen Darstellungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> sind dann die triviale Darstellung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1143e284d5f25cef778ab482edf6617a523ddd9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{2}}" loading="lazy"> (als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy">) und die alternierende Darstellung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1143e284d5f25cef778ab482edf6617a523ddd9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{2}}" loading="lazy"> (als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy">). Wir sind also in dem Beispiel weiter oben, wo wir festgestellt haben, dass das äußere Produkt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39d81124420a058a7474dfeda48228fb6ee1e253.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 6}" loading="lazy">-dimensionale Darstellung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{4}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc1632bc1d95d33ccb5473b9d8cc333c2dd0d13a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{4}}" loading="lazy"> ist. Man kann feststellen (z. B. mit <a href="Charakter_(Mathematik)#Charaktere_von_Darstellungen" title="Charakter (Mathematik)">Charaktertheorie</a>), dass diese Darstellung sich als direkte Summe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U_{1}\oplus U_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U_{1}\oplus U_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86d0a3a312dc3e99e15788577e3ae049255df843.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.124ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U_{1}\oplus U_{2}}" loading="lazy"> schreiben lässt, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc9e7f892894bc50c32ce1b9f9a68a15562146ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.642ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U_{1}}" loading="lazy"> die irreduzible Darstellung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{4}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc1632bc1d95d33ccb5473b9d8cc333c2dd0d13a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{4}}" loading="lazy"> zum Young-Tableau

<pre>[ ][ ][ ]

[ ]

</pre>

ist, und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/590fa6a550fbe2866a28243a733d54245d218b9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.642ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U_{2}}" loading="lazy"> die irreduzible Darstellung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{4}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc1632bc1d95d33ccb5473b9d8cc333c2dd0d13a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.479ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{4}}" loading="lazy"> zum Young-Tableau

<pre>[ ][ ]

[ ]

</pre>

ist. Wir können also schreiben:

<pre>T (X) S = [ ][ ] (X) [ ] = [ ][ ][ ] (+) [ ][ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] ,

</pre>

wobei wir P (X) Q für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P\otimes Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P\otimes Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a956956ed1f7eef45e4be4355ab025e399afa336.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.424ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P\otimes Q}" loading="lazy"> schreiben.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ein_Berechnungsverfahren_für_T_⨂_S">Ein Berechnungsverfahren für T ⨂ S</h3></div>

Seien nun die Young-Tableaux <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> gegeben. Wir wollen die Summanden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1},\ P_{2},\ ...,\ P_{l}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1},\ P_{2},\ ...,\ P_{l}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21f21c82d9fd0c35a63d3505cb8fc89587f12a30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.253ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1},\ P_{2},\ ...,\ P_{l}}" loading="lazy"> in der Zerlegung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\otimes S=P_{1}+P_{2}+...+P_{l}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\otimes S=P_{1}+P_{2}+...+P_{l}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/023c2f1cdd4888712738e2e5afd8492879f9255a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.941ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T\otimes S=P_{1}+P_{2}+...+P_{l}}" loading="lazy"> bestimmen (im obigen Beispiel konnte man dies noch recht leicht per Hand erledigen, vor allem mit Charaktertheorie, aber für größere Tableaux wird dies schnell sehr mühsam).

Die sogenannte Pieri-Regel erledigt dies im Sonderfall, wenn das Tableau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> nur aus einer Zeile besteht: In diesem Fall ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\otimes S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\otimes S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f2dacc0f32e788f37f8fdce0c3a319f29c96658.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.976ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle T\otimes S}" loading="lazy"> die Summe aller Young-Tableaux, die aus dem Young-Tableau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> durch Anfügen von insgesamt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> neuer Zellen entstehen (wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> die Ordnung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> ist), und zwar höchstens einer neuen Zelle pro Spalte.

Beispiel (der Stern dient nur als Orientierung bei der Zuordnung der Zellen):

<pre>[ ][ ] (x) [*][*] = [ ][ ][*][*] + [ ][ ][*] + [ ][ ][*] + [ ][ ]

[ ] [ ] [ ][*] [ ] [ ][*]

[*] [*]

</pre>

Eine Kombination wie

<pre>[ ][ ]

[ ]

[*]

</pre>

kommt in der Entwicklung nicht vor, weil in ihr die erste Spalte zwei hinzugefügte Zellen [*] enthält.

Zur Bildung des äußeren Produkts <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42d39792a8f026fb4cffe772ca5ba3dde00930f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.789ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X)}" loading="lazy"> zwischen beliebigen Tableaux zerlegt man zunächst eines der beiden Tableaux in eine alternierende Summe von äußeren Produkten von einzeiligen Tableaux nach folgender Vorschrift: Haben wir ein Tableau der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (i,j,...,n,m)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (i,j,...,n,m)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7d5cf506bc73fd327de633ba9ee9b82eefcd006.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.243ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (i,j,...,n,m)}" loading="lazy"> vor uns, dann berechnen wir das äußere Produkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (i,j,...,n)(X)(m)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (i,j,...,n)(X)(m)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a4cde60fccacf4666a319b0f8ff4fcd975a3a56.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.807ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (i,j,...,n)(X)(m)}" loading="lazy">. Wir bekommen eine Summe von Tableaux, darunter unser Ausgangs-Tableau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (i,j,...,n,m)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (i,j,...,n,m)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7d5cf506bc73fd327de633ba9ee9b82eefcd006.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.243ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (i,j,...,n,m)}" loading="lazy">, aber auch einige weitere Tableaux. Diese weiteren Tableaux werden nun abgezogen:

<mtext>einige weitere Tableaux</mtext>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (i,j,...,n,m)=(i,j,...,n)(X)(m)-({\mbox{einige weitere Tableaux}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/937a4c091b070ee2ad6c2f4f0eecdee4ee860c5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:64.506ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (i,j,...,n,m)=(i,j,...,n)(X)(m)-({\mbox{einige weitere Tableaux}})}" loading="lazy">.

Auf die so entstandene Summe wird die Prozedur rekursiv angewandt. Diese Rekursion kommt immer zu einem Ende, weil mit jedem Schritt Tableaux entstehen, die in der letzten Zeile mindestens eine Zelle weniger haben.

Beispiel (der Stern dient nur als Orientierung bei der Zuordnung der Zellen):

<pre>[ ][ ] = [ ][ ] (X) [*][*] - [ ][ ][*][*] - [ ][ ][*]

[ ][ ] [*]

= [ ][ ] (X) [*][*] - [ ][ ][*][*] - ( [ ][ ][ ] (X) [*] - [ ][ ][ ][*] )

</pre>

Nach dieser Zerlegung kann man unter Ausnutzung der Assoziativität des äußeren Produktes und mithilfe der Pieri-Regel die eigentliche Multiplikation durchführen. Eine Anwendung des äußeren Produkts findet man bei der Zerlegung der Tensordarstellung eines Vielteilchensystems.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Warnung">Warnung</h3></div>

Das äußere Tensorprodukt zweier Darstellungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> zweier symmetrischer Gruppen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.643ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6749c5ba85b0fce4b16adf795e6f53d197b7991.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.1ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{m}}" loading="lazy"> ist nicht zu verwechseln mit dem inneren Tensorprodukt zweier Darstellungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> einer und der gleichen symmetrischen Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd1325d812cf88e5341ac097d8bda175723da887.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.514ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{k}}" loading="lazy">. Letzteres ist (wie gesagt) nur für zwei Darstellungen der gleichen symmetrischen Gruppe definiert, und auch dann unterscheidet es sich vom äußeren Tensorprodukt (es ist eine Darstellung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd1325d812cf88e5341ac097d8bda175723da887.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.514ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{k}}" loading="lazy">, während das äußere Tensorprodukt eine Darstellung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{2k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{2k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1dd647a264b901ddef4a9f4c888b8e312cc483cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.336ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{2k}}" loading="lazy"> ist). Die Zerlegung dieses inneren Tensorproduktes in irreduzible Darstellungen ist noch um einiges schwieriger als die des äußeren Tensorproduktes. Statt der Littlewood-Richardson-Koeffizienten kommen hier sogenannte Kronecker-Koeffizienten ins Spiel.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bedeutung">Bedeutung</h2></div>

Der Einsatz von Young-Tableaux ist vielfältig. Sie dienen unter anderem

<ul><li>zur Ermittlung der Dimensionalitäten der irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe</li>

<li>zur Konstruktion von Projektoren auf die Teilräume der irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe</li>

<li>als Hilfe beim Beweis von Sätzen im Zusammenhang mit der symmetrischen Gruppe</li>

<li>zur Dekomposition des äußeren Produkts in seine irreduziblen Bestandteile</li></ul>

Darüber hinaus wird zum Beispiel in der Elementarteilchenphysik mit der Technik der Young-Tableaux eine Dekomposition der <a href="Tensor" title="Tensor">Tensordarstellung</a> von Mehrteilchensystemen ermöglicht. Unter anderem wurden sie benutzt, um die <a href="Quark_(Physik)" title="Quark (Physik)">Quark</a>-Struktur von <a href="Hadron" title="Hadron">Hadronen</a> aufzuklären. Quarks wurden anfangs nicht durch Hochenergiestreuexperimente direkt beobachtet, sondern mussten zunächst aus der Systematik der als Darstellungen der zugrundeliegenden Gruppe realisierten zusammengesetzten Teilchen erschlossen werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Zykeltyp" title="Zykeltyp">Zykeltyp</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="William_Fulton_(Mathematiker)" title="William Fulton (Mathematiker)">William Fulton</a> Young-Tableaux. With applications to representation theory and geometry (= London Mathematical Society Student Texts. Nr. 35). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1997, ISBN 0-521-56144-2.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/YoungTableau.html">Young Tableau.</a> In: <a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a> (englisch).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> J. S. Frame, G. de B. Robinson, R. M. Thrall: <cite style="font-style:italic">The Hook Graphs of the Symmetric Group</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Canadian Journal of Mathematics</cite>. Band 6, 1954, S. 316–324, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.4153/CJM-1954-030-1">10.4153/CJM-1954-030-1</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Young-Tableau&rft.atitle=The+Hook+Graphs+of+the+Symmetric+Group&rft.au=J.+S.+Frame%2C+G.+de+B.+Robinson%2C+R.+M.+Thrall&rft.btitle=Canadian+Journal+of+Mathematics&rft.date=1954&rft.doi=10.4153%2FCJM-1954-030-1&rft.genre=book&rft.pages=316-324&rft.volume=6" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> P. A. MacMahon: <cite style="font-style:italic">Combinatory Analysis</cite>. Cambridge University Press, 1916.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Young-Tableau&rft.au=P.+A.+MacMahon&rft.btitle=Combinatory+Analysis&rft.date=1916&rft.genre=book&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> C. Greene, A. Nijenhuis, H.S. Wilf: <cite style="font-style:italic">A probabilistic proof of a formula for the number of Young tableaux of a given shape</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Advances in Mathematics</cite>. Band 31, 1979, S. 104–109, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.4153/CJM-1954-030-1">10.4153/CJM-1954-030-1</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Young-Tableau&rft.atitle=A+probabilistic+proof+of+a+formula+for+the+number+of+Young+tableaux+of+a+given+shape&rft.au=C.+Greene%2C+A.+Nijenhuis%2C+H.S.+Wilf&rft.btitle=Advances+in+Mathematics&rft.date=1979&rft.doi=10.4153%2FCJM-1954-030-1&rft.genre=book&rft.pages=104-109&rft.volume=31" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> D. S. Franzblau, D. Zeilberger: <cite style="font-style:italic">A bijective proof of the hook-length formula</cite>. In: <cite style="font-style:italic">J. Algorithms</cite>. Band 3, 1982, S. 317–343, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/0196-6774%2882%2990029-3">10.1016/0196-6774(82)90029-3</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Young-Tableau&rft.atitle=A+bijective+proof+of+the+hook-length+formula&rft.au=D.+S.+Franzblau%2C+D.+Zeilberger&rft.btitle=J.+Algorithms&rft.date=1982&rft.doi=10.1016%2F0196-6774%2882%2990029-3&rft.genre=book&rft.pages=317-343&rft.volume=3" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> D. E. Knuth: <cite style="font-style:italic">The Art of Computer Programming</cite>. Band 3. Addison-Wesley, 1973, S. 63.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Young-Tableau&rft.au=D.+E.+Knuth&rft.btitle=The+Art+of+Computer+Programming&rft.date=1973&rft.genre=book&rft.pub=Addison-Wesley&rft.volume=3" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>